Явище електризації часто
зустрічається в повсякденному житті,
коли два тіла
взаємодіють один з одним.
(З відповіді на іспиті)

Знайдемо силу, діючу на поверхню, що розділяє два середовища, заряджену з поверхневою щільністю вільних зарядів sсвоб.

(12.1)

де - напруженість поля на поверхні без урахування власного поля цих вільних зарядів, так як заряд не може діяти сам на себе (тільки барон Мюнхгаузен міг витягнути сам себе за волосся з болота). Поля по обидва боки від кордону очевидно рівні

, , Отже, .

раніше ( лк.№5 п.9 ) Зазначалося, що поля зарядженої площини по обидві сторони рівні по модулю і протилежні за напрямком. тоді

і сила дорівнює

З останньої формули і граничної умови (11.30) слід

(12.7)

Як приклад розрахуємо силу, діючу на заземлену площину, поблизу якої є точковий заряд ( лк.№10 п.1 ріс.10.1-10.3 і ріс.12.2). Поля в першому середовищі немає, а в другій воно перпендикулярно площині. Нехай середовище навколо провідника - вакуум, а напруженість знаємо (10.1). тоді

Останній інтеграл досить простий. Після обчислень отримуємо

(12.12)

Порівняйте це результат з силою, що діє на заряд з боку стінки (10.4) і переконайтеся в справедливості третього закону Ньютона.

Легко зрозуміти, що якщо в електростатичне поле помістити об'ємний провідник, то на його поверхню буде діяти сила

(12.13)

де - поле зовні на поверхні провідника (всередині поля немає), e - діелектрична проникність середовища навколо провідника, - зовнішня нормаль. Сила прагне розірвати провідник.

Поляризований куля можна уявити собі як два різнойменних однорідно заряджених (НЕ діелектричних!) Кулі, центри яких зміщені на невелику відстань l.

Поле кулі всередині кулі ми знаємо (5.14). Тоді в довільній точці всередині кулі

У чисельнику очевидно варто дипольний момент всього кулі , де - поляризованность, а V - об'єм кулі. отримуємо

(12.16)

тобто власне поле всередині кулі є однорідним. Зовні ситуація ще простіше. Так як поле кулі поза кулі збігається з полем точкового заряду, то виходить поле диполя

(12.17)

потрібно тільки, щоб R >> l. Поле (лінії напруженості) поляризованого кулі показано на рис.12.4.

У верхній точці кулі зовнішнє поле направлено вгору і так само

Воно в 2 рази більше внутрішнього поля, спрямованого вниз.

Нехай в однорідне поле з напруженістю помістили діелектричний шар. Тоді його поляризованность відповідно до (11.17)

, де - результуюче поле всередині діелектрика, яке в свою чергу так само (див. Формулу (12.16)).

Звідси відразу ж отримуємо напруженість

,

а також поляризованность

і дипольний момент всього кулі

(12.23)

Лінії напруженості внутрішнього і зовнішнього поля показані на ріс.12.5.

Для обчислення поля зовні потрібно скласти зовнішнє поле і поле диполя (12.17). Так для верхньої точки кулі маємо

тоді відношення результуючих полів всередині і зовні

що збігається з граничними умовами (11.30).

Якщо вивчати розглянуті вище формули з цієї точки зору, то можна зайвий раз переконатися, що всередині провідника поле дорівнює нулю.

Нехай є маленький діелектричний шар в початково неоднорідному полі . Неоднорідність його така, що поблизу кулі поле можна вважати однорідним. Тоді відповідно до (8.19) і (12.23)

Використовуючи формулу векторного аналізу (8.20) маємо

(12.27)

Тобто сила спрямована в бік зростання поля. Якщо куля проводить, то

(12.28)

Цими формулами пояснюється явище, з якого зазвичай починають вивчення електрики: дрібні незаряджені предмети притягуються до зарядженого тіла.

Якщо вихідне поле було створено точковим зарядом, напруженість якого добре відома (4.10), то

(12.29)

тобто кулька притягається до заряду з силою обернено пропорційній п'ятого ступеня відстані.

Ще раз повернемося до задачі про взаємодію точкового заряду і нейтральної сфери. Якщо ви уважно прочитали лк. №10 п.2 , То без праці можете розрахувати силу, з якою сфера діє на заряд

або ,

де . Якщо | m | << 1, тобто точковий заряд досить далеко від кулі, то

що в точності збігається з (12.29).

Спробуємо обчислити силу, діючу на цю сферу, скориставшись (12.13). Для цього спочатку знайдемо напруженість поля в кожній точці сфери. Виходячи з ріс.12.6, отримуємо

або ,

де 0 <| m | <1.

Згадуючи зв'язок між напруженістю і поверхневою щільністю заряду (9.9),

можна побудувати графік залежності поверхневої густини заряду від кута (ріс.12.7). Видно, що сфера заряджена нерівномірно. Навпаки точкового заряду поверхнева щільність протилежна за знаком і максимальна по модулю. Інтегруванням по поверхні сфери можна переконатися, що сумарний заряд на ній дорівнює 0, як і передбачалося.

Використовуючи (12.13) можна переконатися, що сила виходить тієї ж самої. Якщо уявити цю сферу зібраної з 2 половинок, то можна розрахувати силу, що діє на кожну половинку, і тим самим визначити, які сили прагнуть розтягнути цю сферу.

Для вирішення цього завдання надамо слово Д.В. Сивухин (§24). Нехай два однорідних ізотропних діелектрика з діелектричними проницаемостями e1 і e2 межують одна з одною вздовж площині. У першому діелектрику є точковий заряд q. Поле в обох областях складається з поля цього заряду і поляризаційних зарядів на межі поділу. Введемо припущення, що поле поляризаційних зарядів в першому діелектрику еквівалентно полю якогось заряду q1 дзеркально розташованого щодо кордону розділу (ріс.12.8).

Тоді для поля в першому діелектрику можна написати

Введемо ще одне припущення, що поле в другому діелектрику утворено ще одним фіктивним зарядом q2, розташованим там же де і вихідний заряд.

Справедливість припущень буде доведена подальшими обчисленнями.

Тепер на кордоні поля треба «зшити».

і

З останніх рівнянь і знаходимо необхідні заряди.

Остаточно одержуємо наступні вирази для полів.

і

Ці вирази задовольняють всім умовам завдання і, по теоремі єдиності інших рішень бути не може. Якщо вважати діелектричну проникність другого середовища дуже великий (провідник), то отримуємо поле точкового заряду близько провідній площині (див. лк. №10 п.1 ).

Легко розрахувати силу, що діє на заряд з боку діелектрика, як силу між зарядами q і q1

(12.43)

Заряд може, як притягатися, так і відштовхуватися. Все залежить від того, в якому середовищі проникність більше. Це більш загальний вираз, ніж (10.4)

Розглянемо тепер сили, які виникають навіть у відсутності вільних зарядів. У «товстих» книжках (Сивухин §34 або Матвєєв О.М. «Електродинаміка», §24) доводиться формула для сили, що діє на нескінченно малий обсяг діелектрика

(12.46)

де rm - масова щільність речовини, а П - гідростатичний тиск.

Дана сила отримала назву пондеромоторних.

Цей термін був введений тоді, коли визнавалося існування невагомих субстанцій (ефір, теплород і т.д.).

Перший доданок - сила, що діє на вільні заряди. Ми про неї говорили вже досить докладно в п.1. Походження четвертого доданка теж досить очевидно. Другий член був введений Максвеллом , А третій Гельмгольцом .

Розглянемо як приклад сили, що діють на діелектричний шар в однорідному полі (ріс.12.9).

З другого доданка очевидно, що Пондеромоторна сила спрямована в бік діелектрика з меншою діелектричною проникністю. Для безпосереднього застосування формули (12.46) необхідно допустити, що перехід від зовнішньої щодо кулі області з діелектричної проникністю e2 до внутрішньої з діелектричної проникністю e1 відбувається не стрибком на поверхні кулі, а безперервно в деякому сферичному шарі. В цьому випадку напруженість змінюється безперервно від її значення поза кулі до значення всередині кулі. У кожній точці кульового шару для обчислення сили можна використовувати формулу (12.46).

У разі e1> e2 поле всередині кулі менше, ніж зовні кулі. Тому сила прагне розірвати кулю, однак повна рівнодіюча всіх сил дорівнює нулю і куля, як ціле, залишається в спокої.

При e1 <e2 сили в перехідному сферичному шарі спрямовані всередину кулі і їх рівнодіюча по різні боки кулі прагнуть стиснути його по лінії зовнішнього поля. Повна сила, що діє на кулю, як і в попередньому випадку, дорівнює нулю.

Якщо ж зовнішнє поле неоднорідне, то повна сила, що діє на кулю, не дорівнює нулю (ріс.12.10). За допомогою аналогічних міркувань робимо висновок, що при e1> e2 повна діюча на кулю сила спрямована в бік зростання поля в середовищі.

Якщо ж e1 <e2, то діюча на діелектричний шар сила спрямована протилежно, тобто в сторону зменшення поля в середовищі. Тому в середовищі з досить великою діелектричної проникністю, наприклад в гасі, діелектричні предмети відштовхуються від наелектризованих тел.

Нехай діелектрична сприйнятливість лінійно залежить від масової щільності c = k rm, а e = 1 + c. Третє складова у формулі (12.46) можна переписати як

(12.47)

Очевидно, що . Тоді другий доданок з (12.46) і перше з (12.47) скорочуються і залишається (без першого і четвертого доданків)

(12.49)

З цієї формули видно, що напрямок сили, що діє на діелектрик, не залежить від напрямку поля, вона завжди спрямована в бік максимального зростання напруженості електричного поля. Це означає, що діелектрик захоплюється в область найбільшої напруженості електростатичного поля.

Походження сили (12.49) можна пояснити по-іншому. Згідно (8.19), (8.20) і (11.17)

Зокрема на пластину діелектрика на ріс.12.1в в цілому сила не діє. Але на кожну сторону діє розтягуються сила.

З тих же причин діелектрик може втягуватися між зарядженими пластинами (ріс.12.11). Зверху поле більше, ніж в самому діелектрику. Таке завдання вирішити з точки зору сил дуже складно. Ми повернемося до неї при вивченні енергетичних співвідношень (див. лк.№16 п.11 ).

Додаткові сили, що виникають в результаті залежності діелектричної проникності від щільності діелектрика, називаються електрострикційних силами, а викликається ними зміна гідростатичного тиску і щільності діелектрика - електрострикції.